Outputの為にも残しておきます．なお，鉛直下向きに $z$ 軸をとります．
【2023/08/29 追記】この記事では速さ $v$ しか求めていません．が，変位 $y$ について解きたいのであれば $v$ を積分すればいいので問題ないかと思います．多分．
【2023/09/04 追記】1章で変数分離形で解けることを導く文章に書き直しました。また，対数の性質の公式を修正しました。
【2023/09/05 追記】前の文章を，「$z$ 軸の単位ベクトル」を「$z$ 軸方向の基本ベクトル」に改めました。
抵抗力の種類
抵抗力には主に次の2種類があります．
- 粘性抵抗力 物体（質点）の運動が遅いときに発生する抵抗力．速度に比例し，定数 $\alpha > 0$ を用いて \begin{equation}\boldsymbol{F} = -\alpha\boldsymbol{v}\end{equation}と表されます．落下する向きの反対向きに力が加わるのでマイナスがつきます．
- 慣性抵抗力 物体（質点）の運動が速いときに発生する抵抗力．速度の $2$ 乗に比例し，定数 $\beta > 0$ を用いて \begin{equation} F = \left\{ \begin{array}{ll} -\beta v^2 & \text{$v > 0$ のとき}\\ +\beta v^2 & \text{$v > 0$ のとき} \end{array} \right. \end{equation} と表されます．
粘性抵抗力が働く場合の放物運動
質量 $m\,$の質点を自由落下させた場合の速さ $v$（速度の鉛直方向）を求めます．
なので，初期条件は $t = 0$ のとき $v = 0$ です．
抵抗力は鉛直上向きに働くので，運動方程式は \begin{equation} m\frac{dv}{dt} = mg - \alpha v \tag{1.1}\end{equation} となります．
この微分方程式は，力の関数の変数が $v$ のみの式なので変数分離形で解くことが出来ます．なので左辺を $v$，右辺を $t$ だけの式にします．
\begin{align*} \frac{dv}{dt} = g - \frac{\alpha v}{m} & \iff dv = \left(g - \frac{\alpha v}{m}\right)dt\\ & \iff \frac{dv}{g - \dfrac{\alpha}{m}v} = dt \end{align*}
両辺積分します．途中計算何してるのか分かんないよ(><)という方に手を差し伸べるべく，番号をつけて説明していきます．解けるって方はここまで飛ばして構いません．
\begin{align} \int \frac{dv}{g - \frac{\alpha}{m}v}\ = \int dt &\iff -\frac{m}{\alpha}\log\left|g - \frac{\alpha}{m}v\right| = t + C \tag{1.2}\label{equ2}\\ &\iff \log\left|g - \frac{\alpha}{m}v\right| = -\frac{\alpha}{m}t + C \tag{1.3}\label{equ3}\\ &\iff g - \frac{\alpha}{m}v = \exp\left(-\frac{\alpha}{m}t + C\right) \tag{1.4}\label{equ4}\\ &\iff \frac{\alpha}{m} v = g - \exp\left(-\frac{\alpha}{m}t + C\right) \tag{1.5}\label{equ5}\\ &\iff v = \frac{m}{\alpha}\left\{g - \exp\left(-\frac{\alpha}{m}t + C\right)\right\} \tag{1.6}\label{equ6}\\ &\phantom{\iff v} = \frac{m}{\alpha}\left\{g - \exp\left(-\frac{\alpha}{m}t\right)\exp(C)\right\} \tag{1.7}\label{equ7} \end{align}
（積分の解説）
式\eqref{equ2}の左辺では公式 \begin{equation} \int \frac{dx}{x} = \ln|x| \end{equation} を利用しています．また，$g - \dfrac{\alpha}{m}v = s$ とおけば，$\dfrac{ds}{dv} = -\dfrac{\alpha}{m} \iff dv = -\dfrac{m}{\alpha}ds$ なので，置換積分より
\begin{equation} \int \frac{dv}{g - \frac{\alpha}{m}v}\ = -\frac{m}{\alpha}\int \frac{ds}{s} = -\frac{m}{\alpha}\log|s| = -\frac{m}{\alpha}\log\left|g - \frac{\alpha}{m}v\right| \end{equation}
式\eqref{equ3}では紛らわしくなるので省略していますが，$- \dfrac{\alpha}{m}C$ をまた $C$ に置き換えています．
式\eqref{equ4}では，$\log$ の定義を利用しています．$\log x = a \iff e^a = x$ です．
式\eqref{equ5}，\eqref{equ6}にかけて $v$ について解き，最後の式\eqref{equ7}では指数法則 $e^{a + b} = e^a e^b$ を使っています．
（問題の続き）
ここで，初期条件より，$t = 0,\ v = 0$ を代入すると
\begin{equation} 0 = \frac{m}{\alpha}\{ g - \exp(C) \} \iff \exp(C) = g \end{equation}
よって，
\begin{equation} v = \frac{m}{\alpha}\left\{ g - \exp\left(-\frac{\alpha}{m}t\right)g \right\} = \frac{mg}{\alpha}\left\{ 1 - \exp\left( -\frac{\alpha}{m}t \right) \right\} \end{equation}
となります．これで $v$ が求まりましたね！
そういえば雨は自由落下運動をしていると云えますよね．でも，空気抵抗を考えない場合だと，地面に近いときには凄まじいスピードになります！ では，空気抵抗を考えると速さはどうなるのでしょうか．
ここで，先程求めた $v$ の式を $t \to \infty$ に飛ばしてみます．すると
\begin{equation} v_{\infty} = \frac{mg}{\alpha} \end{equation}
このように一定の値に収束しました．この速さ（極限値）を 終端速度 といい，これ以上大きくなることはありません．だから雨滴は私たちの方へ殺傷能力 $0$ で落ちてくるわけですね！
慣性抵抗力が働く場合の落体運動
雨滴の半径が大きくなると，粘性抵抗力より慣性抵抗力の方が支配的になります．では，こちらも速さ $v$ を求めていきます．条件は慣性抵抗力が働くものとし，それ以外は全て粘性抵抗力と同じとします．
\begin{equation} m\frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2 \tag{2.1} \end{equation}
です．これも変数分離形で解けるので，先程と同様に変数を分けると
\begin{align*} \frac{dv}{g - \dfrac{\beta}{m}v^2} = dt \end{align*}
となります．なので
\begin{equation*} \int \frac{dv}{g - \dfrac{\beta}{m}v^2} = \int dt \end{equation*}
これを計算していきます．右辺は $t + C$ なので，左辺は
\begin{align} \text{左辺} &= \int \dfrac{dv}{\Bigl(\sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v\Bigr)\Bigl(\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v \Bigr)} \tag{2.2}\label{equ2.2}\\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{g}} \int \left( \dfrac{1}{ \sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v } + \dfrac{1}{ \sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v } \right)\,dv \tag{2.3}\label{equ2.3}\\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{g}}\left( \sqrt{\dfrac{m}{\beta}}\log\left|\sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v\right| - \sqrt{\dfrac{m}{\beta}}\log\left|\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v\right| \right) \tag{2.4}\label{equ2.4}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{m}{g\beta}}\biggl( \log\biggl|\sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v\biggr| - \log\biggl|\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v\biggr| \biggr) \tag{2.5}\label{equ2.5}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{m}{g\beta}}\log\left| \dfrac{\sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v}{\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v} \right| \tag{2.6}\label{equ2.6} \end{align}
となります．では，これも1行ずつ解説していくので，分かる方はここまで飛ばしてください．
（積分の解説）
式\eqref{equ2.2}では，和と差の積に因数分解しています．$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
式\eqref{equ2.3}では，部分分数分解を行っています．$\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B} = \dfrac{B - A}{AB}$ を使うと簡単に解けるかと思います．
式\eqref{equ2.4}では，項別に積分しています．使う公式は式\eqref{equ2}のときと同じです．寧ろこの公式を使って解けるように分母を $v$ の $1$ 次式にしたんですね．
式\eqref{equ2.5}では，$\sqrt{\dfrac{m}{\beta}}$ は定数ですので括ります．
式\eqref{equ2.6}で対数の性質 $\log M - \log N = \log \dfrac{M}{N}$ を使っています．
（問題の続き）
これによって得た
\begin{equation} \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{m}{g\beta}}\log\left| \dfrac{\sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v}{\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v} \right| = t + C \end{equation}
を $v$ について解いていきます．
\begin{align*} \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{m}{g\beta}}\log\left| \dfrac{\sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v}{\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v} \right| = t + C & \quad\stackrel{2C\sqrt{{g\beta}/{m}} = C'}{\iff}\quad \log\left| \dfrac{\sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v}{\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v} \right| = 2t\sqrt{\dfrac{g\beta}{m}} + C'\\ &\qquad\iff \dfrac{\sqrt{g} + \sqrt{\frac{\beta}{m}}\,v}{\sqrt{g} - \sqrt{\frac{\beta}{m}}\,v} = e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'}\\ &\qquad\iff \sqrt{g} + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v = \biggl(\sqrt{g} - \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v\biggr)e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'}\\ &\qquad\iff \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v + \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'} = \sqrt{g}\,e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'} - \sqrt{g}\\ &\qquad\iff \sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\,v \left(1 + e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'}\right) = \sqrt{g}\left(e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'} - 1\right)\\ &\qquad\iff v = -\sqrt{\dfrac{mg}{\beta}} \dfrac{ 1 - e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'} }{ 1 + e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}} + C'} } \end{align*}
ここで，初期条件より，$t = 0,\ v = 0$ を代入すると
\begin{align*} 0 = 1 - e^{C'} \iff C' = 0 \end{align*} となるので，特殊解は \begin{equation} v = -\sqrt{\dfrac{mg}{\beta}} \dfrac{ 1 - e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}}} }{ 1 + e^{2t\sqrt{{g\beta}/{m}}} } \end{equation}
になります．また先程と同じように終端速度を求めたいのですが，このままでは $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形になります．ロピタルの定理を使うのも億劫なのである工夫をします．ここで，分子分母に $e^{-2t\sqrt{{g\beta}/{m}}}$ をかけます．すると
\begin{equation*} v = -\sqrt{\dfrac{mg}{\beta}} \dfrac{ e^{-2t\sqrt{{g\beta}/{m}}} - 1 }{ e^{-2t\sqrt{{g\beta}/{m}}} + 1 } = \sqrt{\dfrac{mg}{\beta}} \dfrac{ 1 - e^{-2t\sqrt{{g\beta}/{m}}} }{ 1 + e^{-2t\sqrt{{g\beta}/{m}}} } \end{equation*}
なので，$t \to \infty$とすると
\begin{equation} v_{\infty} = \sqrt{\dfrac{mg}{\beta}} \end{equation}
と，終端速度が求められました．
おわりに
如何でしたでしょうか．説明するのが下手なのでうまく言語化が出来ず拙い文章になりましたが，これによって悩みが解決した人がいれば幸いです．間違いがあれば報告してくださると助かります．時間があったら次は放物運動についても書こうかなと．では．
