先生が作った学年末テストのための確認テストが頭おかしい

【20220205投稿】
【20220211 修正】
- 見直したつもりなんだけどなぁ…。数式が反映されていないものを修正しました。ついでにタイトル変えました。
【20220219 修正】
- 上に同じ。
【20220223 修正】
- 大問 11 で改行されてませんでした。一気に修正しろ。



るゆりです。


学年末テストが近づいていますが、僕、木曜日に原神をインストールしてしまって全く勉強が手についてないです。
↑詰んだ（ワープ以外出来なくなった）


↑今週のスクリーンタイム。単純計算で１日６時間。





さて、本題です。数学の授業で「学年末テストでこんな問題出るよー」って言われ確認テストをやらされました。それが頭おかしいくらいの難易度だったんです。

試験範囲（90 分）

  • ２次関数
  • べき関数
  • 分数関数
  • 無理関数
  • 逆関数

２次関数ごときでwww なんて言わないでください。平均点 29 点なので。終いには $\boldsymbol{\log}$ とか出してきてやる気削がれました。そんなやつです。
それでもまだピンと来ない方は問題見た方が分かりやすいので見てください。

あ、ちなみに部分点すらなかったのでこの先生やばって思いました。








大問１　[各 4 点]

次の 2 次関数を標準形に直せ．またそのグラフを描け．

(1)　$y=x^ 2+3x-3$
(2)　$y=-2x^ 2+2x-3$


２次関数の超基本的問題。グラフは「頂点」「$x$ 軸との交点」「$y$ 軸との交点」を明記しないといけないんですが、「$x$ 軸との交点」は２次方程式解かないといけないのでめんどくさいですよね。

大問２　[各 5 点]

次の条件を満たす 2 次関数の方程式を求めよ．

(1) 直線 $x = 2$ を軸として，$(0, 3),~(1, 0)$ を通る.
(2) 3 点 $(−1, 10),~(1, 0),~(3, 6)$ を通るグラフを原点に関して対称に移動したグラフ.


２次関数のグラフの方程式を求める問題。特別難しくはなかったですが、友達のを見ると (2) の３元連立１次方程式を解くところで躓いたようです。

大問３　[各 5 点]

次の 2 次関数の最大値，最小値とそのときの $x$ の値を求めよ.

(1) $y = x^ 2 − 6x + 8$
(2) $y=−x^ 2+2x~~~~~(−1\leq x\leq 3)$


これも定期テストなら必ず出る問題。特筆すべき所は無いです。

大問４　[各 5 点]

$x^ 2 + 4y^ 2 = 1$ のとき $3x − 2y$ の最大値，最小値を求めよ.


あれ…雲行きが怪しい…。

２変数関数の最大・最小を求める問題。逆手法を使うのは授業でやったので覚えてる人も多かったようですが、
「$3x-2y=k$ とおいて…だから何？！」ってなったそうです。

大問５　[5 点]

2 次関数 $y = (x − a)^ 2$ と直線 $y = 2x − 3$ が共有点をもつような実数 $a$ の範囲を求めよ.


これも特に言うところは無いです()

大問６　[各 5 点]

2 次関数 $f (x) = x^ 2 − 4x + 5 ~~~(a ≤ x ≤ a + 2)$ について，次の問いに答えよ.

(1) $f (x)$ の逆関数が存在するような $a$ の値の範囲を求めよ．また，そのときの逆関数を求めよ．
(2) (1)で定まった範囲における逆関数の最大値，最小値を求めよ.


おっと…。
これは、「その区間が単調増加・単調減少なら逆関数は存在する」ことを示せばいいのですが、無理でした。
(2) は (1) に気を取られすぎて出来ませんでした。くやしい。

大問７　[10 点]

関数 $y=−(\log_9 x)^ 2+\log_3 x^ 2+5~~~\left(\dfrac{\,1\,}{3} \leq x\leq 9\right)$ の最大値・最小値，およびそのときの $x$ の値を求めよ.


なんで数Ⅰなのに数Ⅱが出てくるんですか…。
「数Ⅱでやったし、出して大丈夫でしょ」
「大丈夫じゃないよ」

定義域が間違ってたの惜しいですよね。でも部分点無いので０点です。許さん。
↑ $t$ の定義域求めるの忘れてた。泣いた。

大問８　[各 3 点]

次の関数は，偶関数か奇関数かどちらでもないか調べよ.

(1) $f(x)=2x|x|$
(2) $f(x)=\dfrac{\,x\,}{2x^ 2+3}$
(3) $f (x) = \sin(\sin(\sin x))$


(3)「$-$ を外に出すだけで良いんかな…」って思って後悔しました。しかも終わり際になんか書こうと思って「偶関数」って書いてしまいました…。$\sin$ は奇関数だろ…。

大問９　[各 5 点]

次の関数の逆関数を求めよ.また，その逆関数の定義域と値域を求めよ.

(1) $y=−5x+1~(−1 \leq x \leq 2)$
(2) $y = x + \dfrac{\,1\,}{x}~(x \geq 1)$



値域求めるのを忘れるというここに来て凡ミス。

大問10　[各 3 点]

次の問いに答えよ.

(1) 曲線$y=2 x−1$ と直線 $y= 12x+k$ が1点で交わるときの， $k$ の範囲を求めよ.
(2) 曲線 $y=2 x−1$ と直線 $y=−12x+k$ が1点で交わるときの，$k$ の範囲を求めよ.


やっとサービス問題か…？

なわけ。最初は①連立して②$D=0$ で終わりって思ったんですが、普通「接する」って言いますよね？
それに気付きました。だけど何をすればいいのか分かりませんでした()

大問11　[各 3 点]

次の関数のグラフを描け．また定義域と値域を求めよ.

(1) $y=−\dfrac{\,2\,}{x+1}+2$
(2) $y=\dfrac{\,9x+10}{6x − 4}$
(3) $y=\sqrt{2x-4}−1$
(4) $y=7−\sqrt{4-x^ 2}$


(4) これ、円の半分の方程式らしいですね。



習ってねぇよ！！
習ってないやつを出すのは害悪過ぎるだろ…。
いや、$x$ の値を代入すればいいんだけど、$\sqrt{3}$ の値とか覚えてないよ…。って言い訳です。

大問12　[完答 5 点]

$f (x) = 2\sqrt{-x+4}$ とする.

(1) $y = f (x)$ と $y = f^{−1}(x)$ のグラフの共有点の $x$ の座標を求めよ.
(2) 不等式 $f (x) > f^{−1}(x)$ を解け.


この問題、大問６～11 に比べれば比較的簡単です。
$f^{-1}(x)$ を求めると４次方程式を解く流れになるのですが、僕は因数定理使って因数分解するのが面倒だったので諦めました…w





以上です。どうや言うことあるか？
答え Twitter の DM で言ってくれれば対応します。解かなくていいです。


では。